Bài viết Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung.

Cách tìm m để hai phương trình có nghiệm chung lớp 9 (cực hay)

A. Phương pháp giải

– Bài toán: Cho 2 phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 có chứa tham số m. Tìm m để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung

– Cách giải:

+ B1: Tìm điều kiện của m để 2 phương trình cùng có nghiệm

+ B2: Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình. Tìm x0

+ B3: Thế x0 tìm được vào một trong hai phương trình tìm m

+ B4: Đối chiếu m tìm được với điều kiện ở B1, nếu thỏa mãn thì nhận, không thỏa mãn thì loại

Ví dụ 1: Cho 2 phương trình : x2 + mx + 2 = 0(1) và x2 + 2x + m = 0(2). Tìm m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ’ ≥ 0 ⇔ 1 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1

⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≤ -2√2 (*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: mx0 – 2×0 + 2 – m = 0 ⇔ (m – 2)x0 = m – 2

Do m ≤ -2√2 nên m – 2 ≠ 0, suy ra x0 = 1

Thay x0 = 1 vào phương trình (1): 1 + m + 2 = 0 hay m = -3( thỏa mãn (*))

Vậy với m = -3 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Ví dụ 2: Cho 2 phương trình : x2 – 2mx + 4m = 0(1) và x2 – mx + 10m = 0(2) . Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ’ ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

⇔ m2 – 40m ≥ 0 ⇔ m(m – 40) ≥ 0

⇒ Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là m ≥ 40 ∨ m ≤ 0 (*)

Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (2) thì 2×0 là nghiệm của phương trình (1). Thay x0 vào (2) và 2×0 vào (1) ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: 9m = 0 ⇔ m = 0 (thỏa mãn (*))

Vậy với m = 0 thì phương trình (2) có một nghiệm gấp 2 lần một nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 3: Cho 2 phương trình : x2 + x + a = 0(1) và x2 + ax + 1 = 0(2).

a. Tìm a để 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung

b. Tìm a để 2 phương trình tương đương

Giải

a. Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4a ≥ 0 ⇔ a ≤ 1/4

READ  Một thế kỷ bằng bao nhiêu năm? Cách xác định một thập kỷ thiên niên kỷ.

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0

Điều kiện để 2 phương trình cùng có nghiệm là: a ≤ -2 (*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình (2) ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: x0(1 – a) – (1 – a) = 0

⇔ x0(1 – a) = (1 – a) (**)

Vì a ≤ -2 nên 1 – a luôn khác 0. Chia hai vế của (**) cho 1 – a ta được x0 = 1

Thay x0 = 1 vào (1) ta có: a = -2 ( thỏa mãn (*))

Vậy với a = -2 thì 2 phương trình có ít nhất một nghiệm chung

b. Kí hiệu ∆1, S1, P1 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm của phương trình (1)

Kí hiệu ∆2, S2, P2 lần lượt là biệt thức đen-ta, tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm l của phương trình (2)

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm . Ta xét các trường hợp sau:

+ TH1: Hai phương trình cùng có tập nghiệm là rỗng

Trường hợp này xảy ra khi:

+ TH2: Hai phương trình có nghiệm kép giống nhau

Trường hợp này xảy ra khi vô nghiệm

+ TH3: Hai phương trình có nghiệm phân biệt giống nhau

Trường hợp này xảy ra khi

⇒ vô nghiệm

Vậy với thì 2 phương trình đã cho tương đương

B. Bài tập

Câu 1: Số giá trị của m để hai phương trình x2 – 2mx – 4m + 1 = 0 (1) và x2 + (3m + 1)x + 2m + 1 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi Δ’ ≥ 0 ⇔ m2 + 4m – 1 ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 – 4(2m + 1) ≥ 0 ⇔ 9m2 – 2m – 3 ≥ 0

Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là:

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -2mx0 – (3m + 1)x0 – 4m + 1 – 2m – 1 = 0 ⇔ -(5m + 1)x0 – 6m = 0

Nếu thì điều kiện (*) trở thành

⇒ không thỏa mãn (*), nghĩa là với thì hai phương trình đều vô nghiệm. Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì

Khi thì

Thay vào phương trình (1):

Xét -m + 1 = 0 ⇔ m = 1( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận

Xét 40m2 + 7m + 1 = 0 có ∆ = 72 -4.40.1 = -111 < 0 nên vô nghiệm

Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án B

Câu 2: Số giá trị của m để hai phương trình 2×2 – (3m + 2)x + 12 = 0 (1) và 4×2 – (9m – 2)x + 36 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 2)2 – 4.2.12 ≥ 0 ⇔ 9m2 + 12m – 92 ≥ 0

READ  Công thức tính phần trăm khối lượng

Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (9m – 2)2 – 4.4.36 ≥ 0 ⇔ 81m2 – 36m + 4 – 576 ≥ 0 ⇔ 81m2 – 36m – 572 ≥ 0

Điều kiện để hai phương trình có nghiệm là:

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(6m + 4)x0 + (9m – 2)x0 – 12 = 0 ⇔ (3m – 6)x0 – 12 = 0

Nếu m = 2 thì điều kiện (*) trở thành:

⇒ m = 2 không thỏa mãn (*), nghĩa là với m = 2 thì 2 phương trình cùng vô nghiệm

Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ 2

Khi m ≠ 2 thì

Thay vào phương trình (1):

Xét m = 3( thỏa mãn (*)) ⇒ nhận

Vậy với m = 3 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án B

Câu 3: Tổng các giá trị của m để hai phương trình 2×2 + (3m + 1)x – 9 = 0 (1) và 6×2 + (7m – 1)x – 19 = 0 (2) có nghiệm chung là

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 – 4.2.(-9) ≥ 0 ⇔ (3m + 1)2 + 72 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

Phương trình (2) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (7m – 1)2 – 4.6.(-19) ≥ 0 ⇔ (7m-1)2 + 456 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

⇒ Với mọi m hai phương trình luôn có nghiệm

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: (9m + 3)x0-(7m-1)x0-27+19=0 ⇔ (2m + 4)x0-8=0(*)

Nếu m = -2 thì phương trình (*) vô nghiệm

Nghĩa là với m = -2 thì 2 phương trình cùng không có nghiệm chung

Vậy muốn hai phương trình có nghiệm chung thì m ≠ -2

Khi m ≠ -2 thì

Thay vào phương trình (1):

Vậy với m = 2, thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án D

Câu 4: Tích các giá trị của m để hai phương trình 2×2 + mx – 1 = 0 (1) và mx2 – x + 2 = 0 (2) có nghiệm chung là

A. -1

B. 5

C. 8

D. -10

Giải

+) TH1: m = 0 thì phương trình (1): 2×2 – 1 = 0

Phương trình (2): -x + 2 = 0 ⇔ x = 2

⇒ với m = 0 thì hai phương trình không có nghiệm chung

+) TH2: m ≠ 0 thì hai phương trình đều là phương trình bậc hai. Khi đó

Phương trình (1) có nghiệm khi Δ ≥ 0 m2 + 8 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

Phương trình (2 ) có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 8m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/8

⇒ Với hai phương trình luôn có nghiệm

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Vì m ≠ 0 nên ta nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với m, nhân 2 vế của phương trình thứ hai với 2 ta được:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được:

Thay vào phương trình (1):

Xét phương trình m2 – m + 7 = 0 có ∆ = (-1)2 – 4.1.7 = -27 < 0 nên vô nghiệm

Vậy với m = -1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

READ  [Tâm Lý] Hiểu Rõ Kỹ Thuật Tán Tỉnh Tam Giác Phá Đảo Tik Tok Gần Đây - YBOX

Đáp án A

Câu 5: Cho hai phương trình x2 – (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) và x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 (2), khẳng định nào sau đây là đúng

A. Có một giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung

B. Tích các giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung bằng 10

C. Giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung là số lớn hơn 3

D. Không có giá trị của m để hai phương trình có nghiệm chung

Giải

Phương trình (1) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 4)2 – 4(m + 5) ≥ 0

⇔ m2 + 8m + 16 – 4m – 20 ≥ 0 ⇔ m2 + 4m – 4 ≥ 0

Phương trình (2 ) có nghiệm khi: Δ ≥ 0 ⇔ (m + 2)2 – 4(m + 1) ≥ 0

⇔ m2 + 4m + 4-4m – 4 ≥ 0 ⇔ m2 ≥ 0,(∀ m ∈ R)

⇒ Điều kiện để hai phương trình luôn có nghiệm là: m2 + 4m – 4 ≥ 0(*)

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, ta có:

Trừ 2 phương trình cho nhau ta được: -(m + 4)x0 + (m + 2)x0 + 4 = 0 ⇔ -2×0 + 4 = 0 ⇔ x0 = 2

Thay vào phương trình (1):

Với m = 1 thì m2 + 4m – 4 = 1 + 4 – 4 = 1 > 0 thỏa mãn điều kiện (*)nên nhận

Vậy với m = 1 thì 2 phương trình có nghiệm chung

Đáp án A

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai phương trình x2 + x – m = 0 và x2 – mx + 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hai phương trình có nghiệm chung;

b) Hai phương trình tương đương.

Bài 2. Cho hai phương trình x2 – 2ax + 3 = 0 và x2 – x + a = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hai phương trình có nghiệm chung;

b) Hai phương trình tương đương.

Bài 3. Cho hai phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì: (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0.

Bài 4. Cho hai phương trình 2×2 + (3m – 1)x – 3 = 0 và 6×2 – (2m – 3)x – 1 = 0. Số giá trị của m để hai phương trình đó có nghiệm chung?

Bài 5. Hãy tìm số giá trị của m để hai phương trình (m + 4)x2 – 2(2m + 9)x – 4 = 0 và x2 – 2(m + 4)x + 8m + 36 = 0 có nghiệm chung?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

  • Cách giải các dạng toán giải phương trình bậc hai một ẩn cực hay
  • Cách giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn cực hay
  • Cách giải hệ phương trình 2 ẩn bậc hai cực hay, chi tiết
  • Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn cực hay, chi tiết

Săn shopee siêu SALE :

  • Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
  • Biti’s ra mẫu mới xinh lắm
  • Tsubaki 199k/3 chai
  • L’Oreal mua 1 tặng 3
  • Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án