Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc chi tiết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh Tỷ số thể tích khối đa diện trích từ các bài giảng Tính nhanh tỷ số thể tích của Khoá học COMBO X tại Vted.vn. Hy vọng bài viết hữu ích đối với quý thầy cô giáo và các bạn học sinh.
>>Rèn luyện kỹ năng tính tỉ số thể tích khối đa diện thông qua các bài toán điển hình
>>Định lí menelaus trong mặt phẳng và Định lí menelaus trong không gian
>>Lý thuyết và áp dụng công thức tỷ số thể tích (công thức simson) cho khối chóp tam giác (khối tứ diện)
Công thức 1: Hai khối chóp chung đỉnh và chung mặt phẳng đáy $dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}.$
Câu 1.Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ và ${V}’$ là thể tích khối chóp $S.MNP.$ Tính tỉ số $dfrac{{{V}’}}{V}.$
A. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{3}{4}.$
B. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{1}{3}.$
C. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{1}{2}.$
D. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{1}{4}.$
Giải. Ta có $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{{{S}_{MNP}}}{{{S}_{ABC}}}={{left( dfrac{1}{2} right)}^{2}}=dfrac{1}{4}.$
Chọn đáp án D.
Câu 2.Cho khối chóp $S.ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA.$ Gọi ${V}’$ là thể tích khối chóp $S.MNPQ.$ Tính tỉ số $dfrac{{{V}’}}{V}.$
A. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{3}{4}.$
B. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{1}{8}.$
C. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{1}{2}.$
D. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{1}{4}.$
Giải. Ta có $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{{{S}_{MNPQ}}}{{{S}_{ABCD}}}=dfrac{1}{2}.$ Chọn đáp án C.
Công thức 2: Công thức Simson (tỷ số thể tích) cho khối chóp tam giác $dfrac{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}{{{V}_{S.ABC}}}=dfrac{S{{A}_{1}}}{SA}.dfrac{S{{B}_{1}}}{SB}.dfrac{S{{C}_{1}}}{SC}.$
Công thức 3: Cắt khối chóp bởi mặt phẳng song song với đáy sao cho $dfrac{S{{B}_{1}}}{S{{A}_{1}}}=k$ thì $dfrac{{{V}_{S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}…{{B}_{n}}}}}{{{V}_{S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}…{{A}_{n}}}}}={{k}^{3}}$ (đây là trường hợp đặc biệt cho hai khối đa diện đồng dạng tỷ số $k).$
Công thức 4: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}’$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $dfrac{AM}{A{A}’}=x,dfrac{BN}{B{B}’}=y,dfrac{CP}{C{C}’}=z$ ta có ${{V}_{ABC.MNP}}=dfrac{x+y+z}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}.$
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có thể tích $V.$ Các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $B{B}’,C{C}’$ sao cho $dfrac{MB}{B{B}’}=dfrac{1}{2},dfrac{NC}{C{C}’}=dfrac{1}{4}.$ Thể tích của khối chóp tứ giác $A.BMNC$ là ?
A. $dfrac{V}{3}.$
B. $dfrac{3V}{8}.$
C. $dfrac{V}{6}.$
D. $dfrac{V}{4}.$
Giải.Ta có ${{V}_{A.BMNC}}=dfrac{x+y+z}{3}V=dfrac{dfrac{1}{2}+dfrac{1}{4}+0}{3}V=dfrac{V}{4}.$ Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có thể tích $V=27.$ Gọi $M,text{ }N$ lần lượt là trung điểm của $B{B}’$ và $C{C}’.$ Hai mặt phẳng $left( AMN right)$ và $left( {A}’BC right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành bốn khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa đỉnh ${C}’$ bằng
A. $18.$
B. $12.$
C. $14.$
D. $15.$
Giải. Gọi $E=AMcap {A}’B;F=ANcap {A}’C.$ Ta có mặt phẳng $left( AMN right)$ và $left( {A}’BC right)$ chia khối lăng trụ đã cho thành bốn khối đa diện là ${A}’AEF,ABCEF,BMNCEF,{A}'{B}'{C}’MEFN.$
Theo Thales có $dfrac{EM}{EA}=dfrac{EB}{E{A}’}=dfrac{BM}{A{A}’}=dfrac{1}{2};dfrac{FN}{FA}=dfrac{FC}{F{A}’}=dfrac{CN}{A{A}’}=dfrac{1}{2}$
Do đó ${{V}_{{A}’AEF}}=dfrac{{A}’E}{{A}’B}.dfrac{{A}’F}{{A}’C}{{V}_{{A}’ABC}}=dfrac{2}{3}.dfrac{2}{3}.dfrac{1}{3}V=4$ và [{{V}_{ABCMN}}=dfrac{1}{3}left( dfrac{BM}{B{B}’}+dfrac{CN}{C{C}’} right)V=dfrac{1}{3}V=9]
[Rightarrow {{V}_{{A}'{B}'{C}’MEFN}}=V-left( {{V}_{ABCMN}}+{{V}_{{A}’AEF}} right)=27-left( 9+4 right)=14.] Chọn đáp án C.
*Các em xem lại Bài giảng Công thức tỷ số thể tích (Simson) và Công thức tính nhanh tỷ số thể tích khoá PRO X.
Công thức 5: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $dfrac{AM}{A{A}’}=X,dfrac{BN}{B{B}’}=y,dfrac{CP}{C{C}’}=z,dfrac{DQ}{D{D}’}=t$ ta có ({V_{ABCD.MNPQ}} = dfrac{{x + y + z + t}}{4}{V_{ABCD.A’B’C’D’}}) và $x+z=y+t.$
Ví dụ 1: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ cạnh $2a,$ gọi $M$ là trung điểm của $B{B}’$ và $P$ thuộc cạnh $D{D}’$ sao cho $DP=dfrac{1}{4}D{D}’.$ Mặt phẳng $(AMP)$ cắt $C{C}’$ tại $N.$ Thể tích khối đa diện $AMNPQBCD$ bằng
A. $2{{a}^{3}}.$
B. $3{{a}^{3}}.$
C. $dfrac{11}{3}{{a}^{3}}.$
D. $dfrac{9}{4}{{a}^{3}}.$
Giải. Thể tích khối lập phương ${{V}_{0}}=8{{a}^{3}}.$ Có $x=dfrac{AA}{A{A}’}=0,y=dfrac{BM}{B{B}’}=dfrac{1}{2},z=dfrac{CN}{C{C}’},t=dfrac{DP}{D{D}’}=dfrac{1}{4}$ và $x+z=y+tLeftrightarrow 0+z=frac{1}{2}+frac{1}{4}Leftrightarrow z=frac{3}{4}.$
Khi đó ${{V}_{AMNPBCD}}=dfrac{x+y+z+t}{4}{{V}_{0}}=dfrac{0+frac{1}{2}+frac{3}{4}+dfrac{1}{4}}{4}.8{{a}^{3}}=3{{a}^{3}}.$ Chọn đáp án B.
Công thức 6: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $dfrac{SM}{SA}=x,dfrac{SN}{SB}=y,dfrac{SP}{SC}=z,dfrac{SQ}{SD}=t$ ta có ${{V}_{S.MNPQ}}=dfrac{xyzt}{4}left( dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t} right){{V}_{S.ABCD}}$ và $dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}.$
Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích $V$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng qua $A,M,P$ cắt cạnh $SC$ tại $N$ với $M,P$ là các điểm thuộc các cạnh $SB,SD$ sao cho $dfrac{SM}{SB}=dfrac{1}{2},dfrac{SP}{SD}=dfrac{2}{3}.$ Mặt Tính thể tích khối đa diện $ABCD.MNP.$
A. $dfrac{23}{30}V.$
B. $dfrac{7}{30}V.$
C. $dfrac{14}{15}V.$
D. $dfrac{V}{15}.$
Giải. Ta có $x=dfrac{SA}{SA}=1,y=dfrac{SM}{SB}=dfrac{1}{2},z=dfrac{SN}{SC},t=dfrac{SP}{SD}=dfrac{2}{3}$ và $dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}Rightarrow 1+dfrac{1}{z}=2+dfrac{3}{2}Leftrightarrow z=dfrac{2}{5}.$
Do đó ${{V}_{S.AMNP}}=dfrac{xyzt}{4}left( dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t} right)V=dfrac{7}{30}VRightarrow {{V}_{ABCD.MNPQ}}=dfrac{23}{30}V.$ Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho hình chóp [S.ABCD] có đáy [ABCD] là hình bình hành và [M] là trung điểm của cạnh bên [SC]. Gọi [left( P right)] là mặt phẳng chứa [AM] và song song với [BD], mặt phẳng [left( P right)] cắt [SB] và [SD] lần lượt tại [{B}’] và [{D}’]. Tỷ số [dfrac{{{V}_{S.A{B}’M{D}’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}] bằng
A. [dfrac{1}{6}.]
B. [dfrac{2}{3}.]
C. [dfrac{1}{3}.]
D. [dfrac{3}{4}.]
Giải. Đặt $x=dfrac{SA}{SA}=1;y=dfrac{S{B}’}{SB};z=dfrac{SM}{SC}=dfrac{1}{2};t=dfrac{S{D}’}{SD}$ thì $dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}=dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=3$
Và $dfrac{{{V}_{S.A{B}’M{D}’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=dfrac{1}{4}xyztleft( dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t} right)=dfrac{3}{4}yt$
Ta có $BD||left( A{B}’M{D}’ right)Rightarrow left( A{B}’M{D}’ right)cap left( SBD right)={B}'{D}’||BDRightarrow y=t=dfrac{2}{3}Rightarrow dfrac{{{V}_{S.A{B}’M{D}’}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=dfrac{1}{3}.$ Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hình chóp [S.ABCD] có đáy là hình bình hành và có thể tích là [V]. Điểm [P] là trung điểm của [SC], một mặt phẳng qua [AP] cắt các cạnh [SB] và [SD] lần lượt tại [M] và [N]. Gọi [{{V}_{1}}] là thể tích khối chóp [S.AMPN]. Giá trị nhỏ nhất của [dfrac{{{V}_{1}}}{V}] bằng
A. [dfrac{1}{3}.]
B. [dfrac{2}{3}.]
C. [dfrac{1}{8}.]
D. [dfrac{3}{8}.]
Giải. Đặt $x=dfrac{SA}{SA}=1;y=dfrac{SM}{SB};z=dfrac{SP}{SC}=dfrac{1}{2};t=dfrac{SN}{SD}$ thì $dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}=dfrac{1}{x}+dfrac{1}{z}=3$
Và $dfrac{{{V}_{S.AMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=dfrac{1}{4}xyztleft( dfrac{1}{x}+dfrac{1}{y}+dfrac{1}{z}+dfrac{1}{t} right)=dfrac{3}{4}yt$
Ta có $3=dfrac{1}{y}+dfrac{1}{t}ge 2sqrt{dfrac{1}{y}dfrac{1}{t}}Rightarrow ytge dfrac{4}{9}Rightarrow dfrac{{{V}_{S.AMPN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=dfrac{3}{4}ytge dfrac{1}{3}.$ Chọn đáp án A.
Công thức 9: Hai khối đa diện đồng dạng với tỷ số $k$ có $dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}={{k}^{3}}.$
Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V.$ Gọi ${V}’$ là thể tích của khối tứ diện có bốn đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tứ diện $ABCD.$ Tính tỷ số $dfrac{{{V}’}}{V}.$
A. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{8}{27}.$
B. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{1}{27}.$
C. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{4}{27}.$
D. $dfrac{{{V}’}}{V}=dfrac{4}{9}.$
Giải. Gọi ${A}’,{B}’,{C}’,{D}’$ lần lượt là trọng tâm các mặt $(BCD),(ACD),(ABD),(ABC);$ Ta có $dfrac{{A}'{B}’}{AB}=dfrac{{A}'{C}’}{AC}=dfrac{{A}'{D}’}{AD}=dfrac{1}{3}.$ Khối tứ diện ${A}'{B}'{C}'{D}’$ đồng dạng với khối tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=dfrac{1}{3}.$
Do đó $dfrac{{{V}’}}{V}={{k}^{3}}={{left( dfrac{1}{3} right)}^{3}}=dfrac{1}{27}.$ Chọn đáp án B.
Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn
>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết
>>Xem thêm Tổng hợp các công thức tính nhanh số phức rất hay dùng- Trích bài giảng khoá học PRO X tại Vted.vn
>>Xem thêm [Vted.vn] – Công thức giải nhanh Hình phẳng toạ độ Oxy
>>Xem thêm [Vted.vn] – Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz
>>Xem thêm kiến thức về Cấp số cộng và cấp số nhân
>>Xem thêm Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ áp dụng trong các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
>>Tải về Tổng hợp các công thức lượng giác cần nhớ
>>Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max
TẢI VỀ BÀI VIẾT FULL CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỶ SỐ THỂ TÍCH TẠI VTED.VN
