Tam giác Pascal là một nội dung mới xuất hiện trong chương trình môn Toán lớp 11. Vậy thì tam giác Pascal có nguồn gốc từ đâu? Tam giác Pascal được tạo nên từ quy luật nào? Tam giác Pascal có ứng dụng như thế nào? Để có thể trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.
1. Tam giác Pascal là gì?
Tam giác Pascal được trình bày dưới dạng một bảng số có hình tam giác do nhà Toán học người Pháp có tên Pascal thiết lập vào năm 1653
2. Quy luật hình thành tam giác Pascal
+ Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
+ Nếu biết hàng thứ n (n 1) thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng
3. Bảng số tương ứng của tam giác Pascal
Ví dụ:
+ Số 1 ở vị trí trên cùng được gọi là đỉnh của tam giác Pascal
+ Hàng thứ 1 được hình thành bằng cách viết số 1 ở đầu và cuối hàng
+ Hàng thứ 2 được hình thành bằng cách ta lấy hai số 1 ở hàng 1 cộng cho nhau là 1 + 1 = 2 rồi ghi số 2 xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số 1. Sau đó ghi hai số 1 ở đầu và cuối hàng thứ 2
+ Các hàng tiếp theo được hình thành theo quy luật tương tự
4. Ứng dụng của tam giác Pascal trong khai triển biểu thức
Ví dụ: Khai triển (x + 2)4 dựa vào tam giác Pascal ta có thể làm như sau:
+ Số mũ trong khai triển nêu trên là 4 nên ta sẽ sử dụng các hệ số trong hàng thứ 4 của tam giác Pascal theo thứ tự từ trái sang phải là 1; 4; 6; 4; 1 làm các hệ số xuất hiện trong khai triển
+ Số mũ của x sẽ giảm từ 4 về 0; số mũ của 2 sẽ tăng từ 0 lên 4
Ta có:
(x + 2)4 = 1.x4.20 + 4.x3.21 + 6.x2.22 + 4.x1.23 + 1.x0.24
= x4 + 8×3 + 24×2 + 32x + 16
5. Một số bài tập áp dụng về tam giác Pascal
4.1. Tự luận
Bài 1: Khai triển (2x – 1)5 dựa vào tam giác Pascal
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
+ Theo tam giác Pascal:
Các hệ số xuất hiện ở hàng thứ 5 lần lượt là: 1; 5; 10; 10; 5; 1
+ Áp dụng các hệ số ở hàng thứ 5 trong tam giác vào khai triển, ta có:
(2x – 1)5 = 1.(2x)5.(-1)0 + 5.(2x)4.(-1)1 + 10.(2x)3.(-1)2 + 10.(2x)2.(-1)3 + 5.(2x)1.(-1)4 + 1.(2x)0.(-1)5
= 32×5 – 80×4 + 80×3 – 40×2 + 10x – 1
Vậy, (2x – 1)5 = 32×5 – 80×4 + 80×3 – 40×2 + 10x – 1
4.2. Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 2: Hàng thứ nhất trong bảng số của tam giác Pascal có sự xuất hiện của
- 1 số
- 2 số
- 3 số
- 4 số
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
Vì hàng thứ nhất được hình thành bằng cách ghi hai số 1 ở đầu và cuối hàng nên hàng thứ nhất trong bảng số của tam giác Pascal có 2 số
Chọn câu B
Bài 3: Trong bảng số của tam giác Pascal, hàng không có sự xuất hiện của số nguyên tố là:
- Hàng 2
- Hàng 3
- Hàng 4
- Hàng 5
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
Các số xuất hiện trong hàng 2 là: 1; 2; 1
Các số xuất hiện trong hàng 3 là: 1; 3; 3; 1
Các số xuất hiện trong hàng 4 là: 1; 4; 6; 4; 1
Các số xuất hiện trong hàng 5 là: 1; 5; 10; 10; 5; 1
Ta có: 2; 3; 5 đều là các số nguyên tố và 4; 6 là các hợp số
Nên hàng không có sự xuất hiện của số nguyên tố là hàng 4
Chọn câu C
Bài 4: Hãy cho biết hàng thứ 99 trong bảng số của tam giác Pascal có bao nhiêu số?
- 98 số
- 99 số
- 100 số
- 101 số
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
Áp dụng hàng thứ n (n 1) có n + 1 số
Do đó, hàng thứ 99 trong bảng số của tam giác Pascal sẽ có 99 + 1 = 100 số
Chọn câu C
Bài 5: Hệ số đứng trước xy3 trong khai triển (x – y)4 là:
- 6
- -6
- 4
- -4
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
Vì đây là khai triển với số mũ là 4 nên sử dụng tam giác Pascal ta có các hệ số trong hàng 4 lần lượt là 1; 4; 6; 4; 1. Áp dụng vào khai triển nêu trên, ta có:
(x – y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
Vậy hệ số đứng trước xy3 trong khai triển là -4
Chọn câu D
Bài 6: Biết các hệ số xuất hiện trong tam giác Pascal ở hàng thứ 7 lần lượt là: 1; 7; 21; 35; 35; 21; 7; 1. Khi đó, các hệ số xuất hiện lần lượt trong tam giác Pascal ở hàng thứ 8 là:
- 1; 8; 28; 56; 70; 56; 28; 8; 1
- 1; 8; 56; 28; 70; 28; 56; 8; 1
- 1; 8; 30; 58; 70; 58; 30; 8; 1
- 1; 8; 58; 30; 70; 30; 58; 8; 1
ĐÁP ÁN
Hướng dẫn:
Hàng thứ 8 sẽ có sự xuất hiện của tất cả 9 số
Số thứ nhất: 1
Số thứ hai: 1 + 7 = 8
Số thứ ba: 7 + 21 = 28
Số thứ tư: 21 + 35 = 56
Số thứ năm: 35 + 35 = 70
Số thứ sáu: 35 + 21 = 56
Số thứ bảy: 21 + 7 = 28
Số thứ tám: 7 + 1 = 8
Số thứ chín: 1
Vậy, các số xuất hiện lần lượt trong hàng 8 là: 1; 8; 28; 56; 70; 56; 28; 8; 1
Chọn câu A
Trên đây là phần tóm tắt một số nội dung chính liên quan đến tam giác Pascal. Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể lĩnh hội được những kiến thức mới. Đồng thời vận dụng vào việc giải quyết các vấn đề liên quan đến tam giác Pascal ở những phần bài tập cùng chủ đề
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
