Phương pháp tách hạng tử trong dạng toán phân tích đa thức

Tách hạng tử là một trong các phương pháp hỗ trợ cho các dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Vậy phân tích đa thức nhân tử là gì? Tách hạng tử là phương pháp như thế nào? Và làm thế nào để có thể vận dụng hiệu quả phương pháp tách hạng tử để giải một bài toán? Để trả lời các câu hỏi trên, chúng ta cùng nhau tìm hiểu thông qua bài viết sau đây nhé.

1. Định nghĩa về phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Một số ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 4×2 + 6x = 2x(2x + 3)

b) x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x)+ (xy – 3y) = x(x – 3) + y(x – 3) = (x + y)(x – 3)

c) x3 + 3×2 + 3x + 1 = (x+1)3

d) x4 – y4 = (x2 – y2 )(x2 + y2) = (x – y)(x + y)(x2 + y2)

Qua các ví dụ trên, chúng ta có thể thấy việc phân tích đa thức thành nhân tử được thực hiện thông qua các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử hay dùng hằng đẳng thức. Tuy nhiên, có một số đa thức mà các phương pháp trên đều không áp dụng được, khi đó ta sẽ nghĩ đến phương pháp tách hạng tử. Vậy tách hạng tử là phương pháp như thế nào, mời các bạn xem phần tiếp theo.

READ  Thì quá khứ đơn (Past simple): Công thức, cách dùng và bài tập

2. Phương pháp tách hạng tử

Phương pháp tách hạng tử là tách một hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay nhiều hạng tử sau đó nhóm các hạng tử thích hợp để làm xuất hiện các nhân tử chung hay các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = (x2 – 2x) – (3x – 6) = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3)

b) x2 – 6x +8 = x2 – 6x + 9 -1 = (x2 – 2.3x + 32) -12 = (x – 3)2 -12 = (x – 3 – 1)(x – 3 + 1) = (x – 4)(x – 2)

c) 2×2 – 5xy + 3y2 = 2×2 – 2xy – 3xy – 3y2 = (2×2 – 2xy) – (3xy – 3y2) = 2x(x – y) – 3y(x – y) = (x – y)(2x – 3y)

3. Một số dạng bài tập vận dụng tách hạng tử

3.1. Dạng 1: Tách hạng tử đối với các đa thức bậc hai

Đối với đa thức bậc hai: ax2 + bx + c = 0 khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử, ta sẽ tách hạng tử bx thành hai hạng tử b1x + b2x. Lúc này, các hệ số b1 và b2 được chọn phải thõa mãn : b1 + b2 = b và b1b2 = ac.

Ví dụ: Phân tích đa thức 4×2 – x – 3 thành nhân tử

Hướng dẫn:

4×2 – x – 3 có các hệ số a = 4; b = -1; c = -3

Ta có: ac = 4.(-3) = -12 = 1.(-12) = (-1).12 = 3.(-4) = (-3).4 = 2.(-6) = (-6).2

Lúc này, ta chọn hệ số b1 và b2 lần lượt là 3 và -4 vì b1 + b2 = 3 + (-4) = -1 = b.

Khi đó đa thức sẽ được phân tích như sau:

4×2 – x – 3 = 4×2 + 3x – 4x – 3 = (4×2 – 4x) – (3x – 3) = 4x(x -1) – 3(x – 1) = (x – 1)(4x – 3)

READ 

Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2 + 7x + 12

b) 3×2 – 10x – 8

c) 6×2 + 23x + 7

ĐÁP ÁN

a) x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)

b) 3×2 – 10x – 8 = 3×2 + 2x – 12x – 8 = (3×2 + 2x) – (12x + 8) = x(3x + 2) – 4(3x – 2) = (x – 4)(3x + 2)

c) 6×2 + 23x + 7 = 6×2 + 2x + 21x + 7 = (6×2 + 2x) + (21x + 7) = 2x(3x + 1) + 7(3x + 1) = (3x + 1)(2x + 7)

3.2. Dạng 2: Phương pháp đổi biến

Qua dạng thứ nhất, ta có thể giải quyết dễ dàng các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đối với đa thức bậc hai. Vậy đối với các đa thức bậc lớn hơn hai, ta sẽ xử lý như thế nào? Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể dùng phương pháp đổi biến, với mục tiêu đưa đa thức bậc cao về dạng bậc hai và sau đó vận dụng cách giải ở dạng một để giải quyết bài toán.

Ví dụ: Phân tích đa thức 3×4 + 5×2 – 2 thành nhân tử.

Hướng dẫn:

Đặt t = x2

Khi đó đa thức đã cho trở thành: 3t2 + 5t – 2. Bài toán này ta có thể giải quyết dễ dàng nhờ áp dụng dạng 1.

3t2 + 5t – 2 = 3t2 + 6t – t – 2 = (3t2 + 6t) – (t + 2) = 3t(t + 2) – (t + 2) = (t + 2)(3t – 1).

3×4 + 5×2 – 2 = (x2 + 2)( 3×2 – 1)

Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2×2 – 5xy + 3y2

b) (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 -10

c) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1

ĐÁP ÁN

a) ta có:

(1)

Đặt

Khi đó (1) sẽ trở thành y2(2t2 – 5t + 3). Ta có

y2(2t2 – 5t + 3) = y2(2t2 – 2t – 3t + 3) = y2 [(2t2 – 2t) – (3t – 3)] = y2 [2t(t – 1) -3(t – 1)] = y2(t – 1)(2t – 3)

READ  Công suất là gì? Đơn vị và công thức tính công suất

Vậy 2×2 – 5xy + 3y2 = (x – y)(2x – 3y)

b) (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 -10 = (x2 – 4x + 4 – 4)2 + (x – 2)2 – 10 = [(x – 2)2 – 4]2 + [(x – 2)2 – 4] – 6 (1)

Đặt t = (x – 2)2 – 4, khi đó (1) trở thành

t2 + t – 6 = t2 + 3t – 2t – 6 = (t2 + 3t) – (2t + 6) = t(t + 3) – 2(t + 3) = (t + 3)(t – 2)

Vậy (x2 – 4x)2 + (x – 2)2 -10 = [(x – 2)2 -1][(x – 2)2 – 6] = (x – 3)(x – 1)(x2 – 4x – 2)

c) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 = x(x + 3)(x + 1)(x + 2) +1 = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) +1 (1)

Đặt t = x2 + 3x, Khi đó (1) trở thành:

t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2

Vậy x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1 = (x2 + 3x +1)2

* Chú ý: Câu c) có thể phát biểu dưới dạng một bài toán số học như sau: chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là một số chính phương.

3.3. Dạng 3: Thêm bớt cùng một số hạng

Khi gặp các dạng bài phân tích đa thức thành nhân tử nếu không thể áp dụng được dạng một hoặc dạng hai ở trên, chúng ta có thể nghĩ đến việc thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hiệu hai bình phương hoặc xuất hiện thừa số chung.

Ví dụ:Phân tích đa thức 4×4 + 16 thành nhân tử.

Hướng dẫn:

Bài tập vận dụng

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x8 + x4 + 1

b) x5 + x +1

ĐÁP ÁN

a)

b)

*Chú ý:

Đối với đa thức có dạng: x3m+1 + x3n+2 + 1 đều chứa nhân tử x2 + x +1.

Ví dụ: x7 + x2 +1 ; x4 + x5 +1; x10 + x2 + 1;…….

4. Bài tập nâng cao áp dụng phương pháp tách hạng tử

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

  1. a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b)
  2. (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
  3. a(a + 2b)3 – b(2a + b)3

ĐÁP ÁN

a) Đặt A = a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b). Khi đó ta có:

b) Đặt B = (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3. Biểu thức B biến đổi như sau:

c) Đặt C = a(a + 2b)3 – b(2a + b)3. Khi đó ta có: